Wiskunde/Integraal

Gebruik

De integraal wordt gebruikt om twee redenen:

• De oppervlakte tussen een grafiek en de x-as aanduiden
• Een oneindige som aanduiden

Riemann-sommen

De Duitse wiskundige Riemann wilde op de één of andere manier de oppervlakte bepalen tussen de grafiek van een functie $f(x)$ en de x-as op het interval [a,b]. Hij redeneerde als volgt: als ik het interval verdeel in n stukjes met breedte $\mathrm{\Delta }x=(b-a)/n$ en die oppervlakte zou opvullen met rechthoekjes boven die stukjes met hoogte $f(x_i)$, waarin $x_i$ het midden van zo'n stukje is, dan is de gezamenlijke oppervlakte van die rechthoekjes bij benadering gelijk aan de oppervlakte tussen de x-as en de grafiek van $f(x)$.

Dus hij schreef op: $\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x\approx Opp.$

Integraal

Dan redeneerde hij verder. Als ik steeds meer rechthoekjes neem en de breedte van die rechthoekjes zéér klein laat worden, dus $\mathrm{\Delta }x\to 0$, krijg ik precies de oppervlakte, die hij integraal noemde. In plaats van een somteken, schreef hij voor die oneindige som van oneindig kleine rechthoekjes een $\int$, een langgerekte S, en voor de oneindig kleine $\mathrm{\Delta }x$ schreef hij dx.

$Opp=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Eigenlijke integraal

Als een functie f integreerbaar is over het interval $]a,b[$ noemt men de integraal eigenlijk. Stel dat er een functie $f(x)$ is gegeven. Je wil de oppervlakte tussen grafiek en x-as bepalen in het interval $[-7;4]$. Dan is dit simpelweg de integraal van de functie over het interval berekenen:

$\underset{-7}{\overset{4}{\int }}f(x)dx$

Oneigenlijke integraal

Een oneigenlijke integraal is een limiet van integralen waarvan de ondergrens naar $-\mathrm{\infty }$ nadert of de bovengrens naar $+\mathrm{\infty }$ of één van beide integratiegrenzen een punt nadert waar de integrand niet gedefinieerd is.

Oneigenlijke integraal over een begrensd interval

Als een functie $f:]a,b[\to R$ over elk interval $]x,b[(a<x\le b)$ integreerbaar is en $\underset{x\to a+}{\lim }\underset{x}{\overset{b}{\int }}f\in R$ bestaat, dan noteren we

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f:=\underset{x\to a+}{\lim }\underset{x}{\overset{b}{\int }}f$

Of analoog, als $f$ over elk interval $]a,x[(a\le x<b)$ integreerbaar is en $\underset{x\to b-}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}f\in R$ bestaat, dan noteren we

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f:=\underset{x\to b-}{\lim }\underset{a}{\overset{x}{\int }}f$

Als de integraal enkel bestaat in deze uitgebreide betekenis, noemt men haar oneigenlijk.

Twee hoofdstellingen van de integraalrekening

Eerste hoofdstelling

Simpel gezegd: Integreren is de inverse bewerking van differentiëren.

$(\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt{)}^{\prime }=f(x)$

Tweede hoofdstelling

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$

Waarbij f een primitieve functie wordt genoemd van f '.

Beknopte, meestgebruikte integralen

Eigenlijke integralen

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$

$\int \frac{1}{x}=\ln |x|$

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x$

$\int e^{x}dx=e^x$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln (a)}$

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}$

$\int \sin (x)dx=-\cos (x)$

$\int \tan (x)dx=-\ln |\cos x|$

$\int \sinh (x)dx=\cosh (x)$

$\int \tanh (x)dx=\ln |\cosh (x)|$

Alle andere integralen kunnen hieruit makkelijk worden afgeleid.

Oneigenlijke integralen

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{3}dx}{e^x-1}=\frac{{\pi }^2}{15}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{xdx}{e^{x-1}}=\frac{{\pi }^2}{6}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{sin(x)dx}{x}=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(z)$ met $\mathrm{\Gamma }(z)$ de Gammafunctie.

Hierbij is x een onafhankelijke variable en z een constante

bron

Cursus wiskundige analyse 1; universiteit Gent; Prof. C. Impens.