Transmissielijnen/Randvoorwaarden

De coëfficiënten A en B in de oplossingen van de telegraafvergelijkingen kunnen we bepalen aan de hand van de randvoorwaarden.

• De spanning aan het begin van de lijn is gelijk is aan de bronspanning:

$u(0)=u_0$,

• de impedantie aan het einde van de lijn is de belastingsimpedantie:

$\frac{u(L)}{v(L)}=z_L=\frac{Z_L}{Z_0}$.

Daaruit leiden we af:

$A+B=u_0$

en

$A{e}^{-\gamma L}+B{e}^{+\gamma L}=z_L(A{e}^{-\gamma L}-B{e}^{+\gamma L})$,

waarmee de verhouding van B en A, die we met Γ₀, de later te bespreken reflectiecoëfficiënt aan het begin van de lijn, aanduiden, vastligt:

$\frac{B}{A}={\mathrm{\Gamma }}_0=\frac{z_L-1}{z_L+1}{e}^{-2\gamma L}$.

Daaruit volgt:

$A=\frac{1}{1+{\mathrm{\Gamma }}_0}{u}_0$

en

$B=\frac{{\mathrm{\Gamma }}_0}{1+{\mathrm{\Gamma }}_0}{u}_0$.

We kunnen A en B ook uitdrukken in u₀ en v₀, de waarden van u en v aan het begin van de lijn. Er geldt:

$v_0=u_0\frac{(z_L+1)e^{+\gamma L}-(z_L-1)e^{-\gamma L}}{(z_L+1)e^{+\gamma L}+(z_L-1)e^{-\gamma L}}=u_0\frac{z_L+\tanh (\gamma L)}{1+z_L\tanh (\gamma L)}$

Dan is:

$A+B=u_0$

en

$A-B=v_0$,

zodat:

$A=\frac{1}{2}(u_0+v_0)$

en

$B=\frac{1}{2}(u_0-v_0)$.

De spanning en de stroom zijn dus:

$u(x)=\frac{1}{2}(u_0+v_0)e^{-\gamma x}+\frac{1}{2}(u_0-v_0)e^{+\gamma x}=u_0\cosh (\gamma x)-v_0\sinh (\gamma x)$

en

$v(x)=\frac{1}{2}(u_0+v_0)e^{-\gamma x}-\frac{1}{2}(u_0-v_0)e^{+\gamma x}=v_0\cosh (\gamma x)-u_0\sinh (\gamma x)$.

Verliesvrije lijn

Voor een verliesvrije lijn is $r=0$ en $g=0$, dus is:

$\gamma =j\beta =j\omega \sqrt{lc}$.

De spanning en de stroom zijn dan:

$u(x)=u_0\cosh (j\beta x)-v_0\sinh (j\beta x)=u_0\cos (\beta x)+j{v}_0\sin (\beta x)$

$u(x)/u_0=\cos (\beta x)+j\frac{v_0}{u_0}\sin (\beta x)=\cos (\beta x)+j\frac{1}{z_{in}}\sin (\beta x)$

en analoog

$v(x)=v_0\cos (\beta x)+j{u}_0\sin (\beta x)$.

Sjabloon:Draaipagina2/Transmissielijnen   Sjabloon:Sub