Lineaire algebra/Volledig stelsel

Het stelsel van alle vectoren uit $V$ is een afhankelijk stelsel. Dit stelsel vectoren brengt natuurlijk $V$ voort. Als we uit dit stelsel een vector schrappen die een lineaire combinatie is van de overige, blijft het stelsel de ruimte $V$ opspannen. Maar hoever kunnen we hiermee doorgaan? En hoeveel vectoren zijn er eigenlijk nodig om heel $V$ voort te brengen? In elk geval zijn er in $V$ veel stelsels vectoren die $V$ voortbrengen. Zo'n stelsel dat heel $V$ voortbrengt, noemen we een volledig stelsel.

Definitie 4.1

Het stelsel vectoren $(x_i,i\in I)$ heet volledig als het heel $V$ voortbrengt.

Voorbeeld

In de driedimensionele euclidische ruimte is het stelsel vectoren ((1,1,0),(0,1,2),(1,0,1)) volledig, want een willekeurige vector $(a,b,c)$ is een lineaire combinatie van deze drie, nl.:

$(a,b,c)=\frac{a+2b-c}{3}(1,1,0)+\frac{-a+b+c}{3}(0,1,2)+\frac{2a-2b+c}{3}(1,0,1)$

Soms zijn er maar eindig veel vectoren nodig om heel $V$ voort te brengen.

Definitie 4.2

Als er in $V$ een eindig stelsel vectoren $(x_1,\dots ,x_m)$ is dat volledig is, noemen we $V$ eindig voortgebracht.