Lineaire algebra/Kwadratische vorm

Bij een symmetrische bilineare vorm $B$ op de vectorruimte $V$ kan een afbeelding $Q:V\to ℝ$ gedefinieerd worden door:

$Q(v)=B(v,v)$

Daarvoor geldt dan:

$Q(v+v^{\prime })=B(v+v^{\prime },v+v^{\prime })=B(v,v)+B(v,v^{\prime })+B(v^{\prime },v)+B(v^{\prime },v^{\prime })=Q(v)+2B(v,v^{\prime })+Q(v^{\prime }).$

Dit lijkt veel op de uitwerking van een kwadraat, en $Q$ heet dan ook een kwadratische vorm.

Definitie 22.1

Zij $V$ een lineaire ruimte over een lichaam $K$. Een kwadratische vorm op $V$ is een afbeelding $Q:V\to K$ van $V$ naar $K$ waarvoor een symmetrische bilineaire vorm $B$ op $V$ bestaat, zodanig dat:

$Q(v)=B(v,v)$

Zoals we boven zagen geldt voor de bilineaire vorm $B$ die bij $Q$ bestaat:

$Q(v+v^{\prime })=2B(v,v^{\prime })+Q(v)+Q(v^{\prime })$

Als de karakteristiek van $K$ verschilt van 2, is deze bilineaire vorm uniek.

Definitie 22.2

Zij $V$ een lineaire ruimte over een lichaam $K$ waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en $Q$ een kwadratische vorm op $V$. De bilineaire vorm

$B(v,w)=\frac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))$

heet de met $Q$ geassocieerde bilineaire vorm.

Stelling 22.1

Zij $V$ een lineaire ruimte over een lichaam $K$ waarvan de karakteririek ongelijk is aan 2 en $Q$ een kwadratische vorm op $V$. De met $Q$ geassocieerde bilineaire vorm $B$ is eenduidig bepaald.

Stelling 22.2

Een kwadratische vorm $Q$ is een homogene afbeelding van de tweede graad, want:

$Q(\lambda v)={\lambda }^{2}Q(v)$

Laat $b=(b_1,\dots ,b_n)$ een geordende basis van de vectorruimte $V$ zijn. Dan is

$Q(v)=B(v,v)=\sum v_i{v}_j{\beta }_{ij}$,

waarin $\beta$ de matrix van $B$ is t.o.v. de basis $b$.

Omdat $B$ symmetrisch is, is ook de matrix $\beta$ symmetrisch. Omgekeerd hoort bij iedere symmetrische matrix een symmetrische bilineaire vorm en bijgevolg een kwadratische vorm.

Stelling van Sylvester

Door overgang op een basis waarvoor de matrix van de met $Q$ geassocieerde bilineaire vorm $B$ diagonaal is, kan $Q$ als een lineaire combinatie van volkomen kwadraten geschreven worden. Voor de vector $v$ met coordinaten $\xi$ t.o.v. deze basis geldt:

$Q(v)=a_1{\xi }_1^2+\dots +a_r{\xi }_n^2$

Stel dat het lichaam van scalairen $ℂ$ is, dan kunnen we van alle $a_i$ de wortel nemen en kunnen we schrijven:

$Q(v)={\xi }_1^{\text{'}2}+\dots +{\xi }_n^{\text{'}2}$

met $\xi {\text{'}}_i=\sqrt{a_i}{\xi }_i$.

Als de scalairen reële getallen zijn, dus $K=ℝ$, doen we iets soortgelijks. We schrijven:

$Q(v)={\xi }_1^{\text{'}2}+\dots +{\xi }_p^{\text{'}2}-{\xi }_{p+1}^{\text{'}2}-\dots -{\xi }_r^{\text{'}2}$

met

$\xi {\text{'}}_i=\sqrt{a_i}{\xi }_i\text{ als }{a}_i>0$

$\xi {\text{'}}_i=\sqrt{-a_i}{\xi }_i\text{ als }{a}_i<0$

Aangezien we maar $r$ termen opnemen en niet alle $n$ termen kunnen we veronderstellen dat $a_i\ne 0$ is. We kunnen daarenboven nog een afspraak maken dat de eerste $p$ coëfficiënten positief zijn en de laatste $r-p$ negatief:

$a_i>0$ voor $i\le p$

$a_i<0$ voor $i>p$

Dan bestaat er een basis zodat $q(v)=x_1{\text{'}}^2+\dots +x_p{\text{'}}^2-x_{p+1}{\text{'}}^2-\dots -x_r{\text{'}}^2$ met

${x_i}^{\prime }=\sqrt{a_i}\text{ als }i\le p$

${x_i}^{\prime }=\sqrt{-a_i}\text{ als }i>p$

Hieruit volgt de stelling van Sylvester:

Het aantal termen $r$ en de signatuur $p-(r-p)$ van een kwadratische vorm is uniek bepaald, onafhankelijk van de gekozen basis.

Bewijs

We bewijzen de stelling van Sylvester uit het ongerijmde.

Stel dat $q(v)=x_1^{\text{'}2}+\dots +x_p^{\text{'}2}-x_{p+1}^{\text{'}2}-\dots -x_r^{\text{'}2}$ en ook $q(v)=y_1^{\text{'}2}+\dots +y_q^{\text{'}2}-y_{q+1}^{\text{'}2}-\dots -y_r^{\text{'}2}$ met $p\ne q$. We kunnen veronderstellen dat $p<q$. Neem nu

$V_1=\{v\in V|x_1=x_2=\dots =x_p=0=y_{q+1}=y_{q+2}=\dots =y_n\}$

In die verzameling hebben we $p+(n-q)=n+(p-q)<n$ voorwaarden. Er zijn dus zeker oplossingen buiten de nul oplossing. Neem nu $v\ne 0\in V$, dan is $q(v)\le 0$ (t.o.v. de eerste basis) en $q(v)\ge 0$ (t.o.v. de tweede basis). Dus is $q(v)=0$ en is $y_1=y_2=\dots =y_q=0$ dus is $v=0$ wat een contradictie is. De enige mogelijkheid is dus dat $p=q$.

Hieruit volgt dat een symmetrisch bilineair product positief is als $p=r$ of anders gezegd als de signatuur gelijk is aan $r$ en het is definiet als daarenboven $r=n$. Een positief definiet symmetrisch bilineair product wordt ook een inproduct genoemd.