Lineaire algebra/Covariant en contravariant

Sjabloon:Lineaire algebra Zowel de elementen uit de $n$-dimensionale vectorruimte $V$ als de eenvormen uit de duale ruimte $V^{*}$ kunnen door keuze van een basis $(v_1,\dots ,v_n)$ op vanzelfsprekende wijze voorgesteld worden door rijtjes uit de ${ℝ}^n$. Zo worden

$x={\xi }_1{v}_1+\dots +{\xi }_n{v}_n\in V$

en

$u={\eta }_1{v}_1^{*}+\dots +{\eta }_n{v}_n^{*}\in V^{*}$

voorgesteld door respectievelijk:

$\xi =({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)$

en

$\eta =({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)$

Er geldt:

$u(x)=({\eta }_1{v}_1^{*}+\dots +{\eta }_n{v}_n^{*})({\xi }_1{v}_1+\dots +{\xi }_n{v}_n)={\eta }_1{\xi }_1+\dots +{\eta }_n{\xi }_n$

Gaan we over op een andere basis $(w_1,\dots ,w_n)$ van $V$, dan krijgen $x$ en $u$ andere coördinaten:

$x={\xi }_1{v}_1+\dots +{\xi }_n{v}_n=\xi {\text{'}}_1{w}_1+\dots +\xi {\text{'}}_n{w}_n$

en

$u={\eta }_1{v}_1^{*}+\dots +{\eta }_n{v}_n^{*}=\eta {\text{'}}_1{w}_1^{*}+\dots +\eta {\text{'}}_n{w}_n^{*}$

Er geldt dan:

$u(x)={\eta }_1{\xi }_1+\dots +{\eta }_n{\xi }_n=\eta {\text{'}}_1\xi {\text{'}}_1+\dots +\eta {\text{'}}_n\xi {\text{'}}_n$

De relatie tussen $\xi$ en ${\xi }^{\prime }$ wordt bepaald door de coördinatiseringen:

$\xi ={\kappa }_{v}x$

en

${\xi }^{\prime }={\kappa }_{w}x$,

dus

${\xi }^{\prime }={\kappa }_w{\kappa }_v^{-1}\xi ={\mathrm{\Gamma }}_{wv}\xi =\mathrm{\Gamma }\xi$

Daarin is $\mathrm{\Gamma }$ de "gewone" coördinatentransformatie. De coördinaten $\xi$ transformeren op de gewone manier tot ${\xi }^{\prime }$. Dat houdt in dat als een basisvector langer gekozen wordt, de bijbehorende coördinaat kleiner wordt. De coördinaten gedragen zich a.h.w. tegengesteld aan de basisvectoren. Men noemt $\xi$ en ook $x$ zelf daarom contravariant.

Anders is het met $\eta$ en $u$. De relatie tussen $\eta$ en ${\eta }^{\prime }$ wordt bepaald door de coördinatiseringen:

$\eta ={\kappa }_{v^{*}}u$

en

${\eta }^{\prime }={\kappa }_{w^{*}}u$,

zodat

${\eta }^{\prime }={\kappa }_{w^{*}}{\kappa }_{v^{*}}^{-1}\eta ={\mathrm{\Gamma }}_{w^{*}{v}^{*}}\eta ={\mathrm{\Gamma }}^{*}\eta$

Daarin is ${\mathrm{\Gamma }}^{*}$ de coördinatentransformatie van de duale bases. Daarvoor geldt:

${\mathrm{\Gamma }}^{*}={\mathrm{\Gamma }}^T$;

immers:

${\delta }_{km}=w_k^{*}(w_m)=w_k^{*}({\mathrm{\Gamma }}_{m1}{v}_1+\dots +{\mathrm{\Gamma }}_{mn}{v}_n)={\mathrm{\Gamma }}_{m1}{w}_k^{*}(v_1)+\dots +{\mathrm{\Gamma }}_{mn}{w}_k^{*}(v_n)={\mathrm{\Gamma }}_{m1}{\mathrm{\Gamma }}_{k1}^{*}+\dots +{\mathrm{\Gamma }}_{mn}{\mathrm{\Gamma }}_{kn}^{*}$

De coördinaten $\eta$ transformeren dus "anders dan bij een gewone" vector tot ${\eta }^{\prime }$. Zij gdragen zich in overeenstemming met de basisvectoren. Men noemt $\eta$ en ook $u$ zelf daarom covariant.

Sjabloon:Sub Sjabloon:GFDL-oud