Fourieranalyse/Complexe Fourierreeks

Men kan de fourierreeks zoals gedefinieerd in het vorige hoofdstuk op elegante wijze weergeven mbv. complexe e-machten. Er geldt immers:

$\tilde{f}(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+i{b}_n\sin (nx))=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n{e}^{-inx}$,

waarin:

${\alpha }_0=a_0$,

${\alpha }_n=\frac{1}{2}(a_n+b_{n}i)$

en

${\alpha }_{-n}=\overline{{\alpha }_n}$

Orthonormale functies

In plaats van sinussen en cosinussen treden hier de complexe e-machten $e^{inx}$ op als orthogonaal stelsel. Er geldt:

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{imx}{e}^{inx}dx={\delta }_{mn}$.

Het stelsel is dus zelfs orthonormaal m.b.t. het inproduct:

$⟨f,g⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)g(x)dx$.

Voor de coëfficiënten geldt dus:

${\alpha }_n=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)e^{inx}dx$

Sjabloon:Sub