Elektrodynamica/Vector Calculus

Scalaire velden en vectorvelden

De onderstaande lijst met feiten uit de vectormeetkunde wordt bekend verondersteld.

• $𝐀\cdot 𝐁=scalair=A_x{B}_x+A_y{B}_y+A_z{B}_z$
• $𝐀\times 𝐁=vector$

${(𝐀\times 𝐁)}_x=A_y{B}_z-A_z{B}_y$

${(𝐀\times 𝐁)}_y=A_z{B}_x-A_x{B}_z$

${(𝐀\times 𝐁)}_z=A_x{B}_y-A_y{B}_x$

• $𝐀\times 𝐁=0$
• $𝐀\cdot (𝐀\times 𝐁)=0$
• $𝐀\cdot (𝐁\times 𝐂)=(𝐀\times 𝐁)\cdot 𝐂$
• $𝐀\times (𝐁\times 𝐂)=𝐁(𝐀\cdot 𝐂)-𝐂(𝐀\cdot 𝐁)$

En uit de gewone calculus:

• $\mathrm{\Delta }f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{\Delta }y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{\Delta }z$
• $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

Operator Δ

We introduceren de vector-operator $\mathrm{\nabla }$ (nabla, ook wel del genoemd):

• $\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

Waarmee we bedoelen:

• ${\mathrm{\nabla }}_x=\frac{\partial }{\partial x},{\mathrm{\nabla }}_y=\frac{\partial }{\partial y},{\mathrm{\nabla }}_z=\frac{\partial }{\partial z}$

Gradient

De gradient van een scalair veld is de operator $\mathrm{\nabla }$ op een scalair veld:

• $\mathrm{\nabla }T$ = grad T = een vector

Divergentie

De divergentie van een vectorveld is het inproduct van $\mathrm{\nabla }$ en het veld.

• $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐡$ = div h = een scalair

Rotatie

De rotatie van een vectorveld is het uitproduct van $\mathrm{\nabla }$ en het veld.

• $\mathrm{\nabla }\times 𝐡$ = curl h = een vector

Tweede orde afgeleiden van vector velden

In de voorgaande paragraaf hebben wij ons beperkt tot eerste orde afgeleiden. Uiteraard zijn er ook tweede orde afgeleiden. Mogelijke combinaties zijn:

• a) $\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }T\right)$
• b) $\mathrm{\nabla }\times \left(\mathrm{\nabla }T\right)$
• c) $\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐡)$
• d) $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times 𝐡)$
• e) $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐡)$

Sjabloon:Sub