Basiskennis chemie 4/Merkwaardige producten (a + b)(a + c)

(a + b)(a + c) met getallen

Het eerste geval van een merkwaardig product is dat waarbij beide factoren eenzelfde term hebben. Dat is in de titel van deze paragraaf aangegeven doordat het symbool "a" in beide factoren voorkomt. Voordat je met de wiskundige notatie gaat werken eerst een getallenvoorbeeld: "$17\times 14$" waarbij "10" de gemeenschappelijke term is.

Niet moeilijk doen

Uiteraard is dit sommetje onder het motto "niet moeilijk doen" met je rekenmachine zo uit te rekenen: $17\times 14=238$. Om te zien hoe het in een wiskundige vermenigvuldiging werkt gaan we wel moeilijk doen.

$$

Niet moeilijk doen

Wiskundig doen

Je kunt veertien en zeventien allebei schrijven als tien plus een aantal eenheden. De vermenigvuldiging wordt dan:

$17\times 14=(10+7)\cdot (10+4)$

Vergelijking 1

Wiskundig doen

De vermenigvuldiging van de kop uitwerken op de manier van de vorige paragraaf levert:

$17\times 14=10\times 10+4\times 10+7\times 10+7\times 4$

Vergelijking 2

In woorden:

• de eerste¹ keer de eerste² plus
• de eerste¹ keer de tweede² plus
• de tweede¹ keer de eerste² plus
• de tweede¹ keer de tweede²

¹: stilzwijgend hoort hier bij: term van de eerste factor

²: stilzwijgend hoort hier bij: term van de tweede factor

Je kunt nu gaan rekenen, maar schrijf je de eerste term eerst als een kwadraat en breng je bij de tweede en derde term "10" buiten haakjes, dan vindt je:

$17\times 14=(10+7)\cdot (10+4)=10{\phantom{A}}^2+(7+4)\cdot 10+7\times 4$

Vergelijking 3

In woorden staat hier:

• de gemeenschappelijke term in het kwadraat plus
• de som van de twee niet gemeenschappelijke termen maal de gemeenschappelijke term plus
• het product van de twee niet gemeenschappelijke termen.

Nu uitrekenen levert:

$17\times 14=(10+7)\cdot (10+4)=10{\phantom{A}}^2+(7+4)\cdot 10+7\times 4=100+110+28=238$

Vergelijking 4

De uitkomst is uiteraard geen verrassing.

(a + b)(a + c) wiskundig

De vermenigvuldiging "$(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{c})$" uitwerken op de manier van de vorige paragraaf levert:

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})\cdot (\mathrm{a}+\mathrm{c})=\mathrm{a}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{c}+\mathrm{b}\cdot \mathrm{a}+\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}$

Vergelijking 5

Letters die gebruikt worden voor getallen die vermenigvuldigd moeten worden, worden alfabetisch geschreven. Voor een getal dat je met zichzelf vermenigvuldigt wordt de macht gebruikt:

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})\cdot (\mathrm{a}+\mathrm{c})=\mathrm{a}{\phantom{A}}^2+\mathrm{a}\cdot \mathrm{c}+\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}$

Vergelijking 6

Bovendien kan bij de twee middelste termen de "a" buiten haakjes gebracht worden:

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})\cdot (\mathrm{a}+\mathrm{c})=\mathrm{a}{\phantom{A}}^2+\mathrm{a}\cdot (\mathrm{b}+\mathrm{c})+\mathrm{b}\cdot \mathrm{c}$

Vergelijking 7

Dit lijkt nog steeds erg op een gewoon product Er staan eigenlijk nog steeds vier termen. Het wordt anders als voor "b" en "c" getallen worden genomen.

$(\mathrm{a}+2)\cdot (\mathrm{a}+5)=\mathrm{a}{\phantom{A}}^2+\mathrm{a}\cdot (2+5)+2\times 5=\mathrm{a}{\phantom{A}}^2+7\mathrm{a}+10$

Vergelijking 8

Na het laatste gelijkteken in vergelijking 4 staan maar drie termen.Dat is er één minder dan je bij een gewone vermenigvuldiging verwacht. Het product is dus merkwaardig.

Negatieve getallen

In het getallenvoorbeeld hierboven zijn de "b" en de "c" van de wiskunde allebei positieve getallen. In onderstaande voorbeelden zie je wat er gebeurt als een of beide negatief zijn.

b en/of c negatief

9 x 12

De vermenigvuldiging $9\times 12$ kan op de volgende manier uitgewerkt worden:

$9\times 12=(10-1)\cdot (10+2)$	Vergelijking 9
$⟹10.10+10.2+(-1)\cdot 10+(-1)\cdot 2$	Vergelijking 10
$⟹10{\phantom{A}}^2+(2+(-1))\cdot 10+(-1)\cdot 2$	Vergelijking 11
$⟹10{\phantom{A}}^2+(+1)\cdot 10+(-1)\cdot 2$	Vergelijking 12
$⟹100+10+(-2)$	Vergelijking 13
$⟹100+10-2=108$	Vergelijking 14

Je ziet dat het teken van "-1" in de tweede term van de eerste factor een rol speelt. Optellen van "-1" en "2" levert "1" als resultaat. Ook in de derde term zie je dat "min maal plus is min" een rol speelt. Uiteraard vertelt je rekenmachine ook: $9\times 12=108$

(a-b)(a+c)

7 x 11

De vermenigvuldiging $7\times 11$ kan op de volgende manier uitgewerkt worden:

$7\times 11=(10-3)\cdot (10+1)$	Vergelijking 15
$⟹10.10+10.1+(-3)\cdot 10+(-3)\cdot 1$	Vergelijking 16
$⟹10{\phantom{A}}^2+(1+(-3))\cdot 10+(-3)\cdot 1$	Vergelijking 17
$⟹10{\phantom{A}}^2+(-2)\cdot 10+(-3)\cdot 1$	Vergelijking 18
$⟹100-20-3=77$	Vergelijking 19

Je ziet dat het teken van "-3" in de tweede term van de eerste factor een rol speelt. Optellen van "-3" en "1" levert "-2" als resultaat. Ook in de derde term zie je dat "min maal plus is min" een rol speelt. Uiteraard vertelt je rekenmachine ook: $7\times 11=77$

(a-b)(a+c)

19 x 18

De vermenigvuldiging $19\times 18$ kan op de volgende manier uitgewerkt worden:

$19\times 18=(20-1)\cdot (20-2)$	Vergelijking 20
$⟹20.20+20\cdot (-2)+(-1)\cdot 20+(-1)\cdot (-2)$	Vergelijking 21
$⟹20{\phantom{A}}^2+((-1)+(-2))\cdot 20+(-1)\cdot (-2)$	Vergelijking 22
$⟹10{\phantom{A}}^2+(-3)\cdot 20+(-1)\cdot (-2)$	Vergelijking 23
$⟹400-60+2=342$	Vergelijking 24

Je ziet dat het negatieve teken van "-1" en (-2) een rol speelt. Optellen van "-1" en "-2" levert "-3" als resultaat. Ook in de derde term zie je dat "min maal min is plus" een rol speelt. Uiteraard vertelt je rekenmachine ook: $19\times 18=342$

(a-b)(a+c)