Basiskennis chemie 4/Merkwaardige producten (a+b)2

Kwadraten (x + a)²

In deze paragraaf maak je kennis met kwadraten van de vorm (x + a)². Eerst een paar getallenvoorbeelden.

11²

Het kwadraat van 11 kun je uiteraard gewoon uitrekenen. In dit voorbeeld schrijf je "11" als "10 + 1":

$(10+1){\phantom{A}}^2$

verg. 1

Vergelijking 1 kun je ook schrijven als:

$(10+1)\times (10+1)$

verg. 2

Als je de eerste factor als aparte termen schrijft moet je beide termen met de tweede factor vermenigvuldigen:

$10\times (10+1)+1\times (10+1)$

verg. 3

Werk je nu ook de haakjes weg die er nog over zijn, dan vind je:

$10\times 10+10\times 1+1\times 10+1\times 1$

verg. 4

of in een kortere wiskundige formulering:

$10{\phantom{A}}^2+2\times (10\times 1)+1{\phantom{A}}^2$

verg. 5

De middelste term hier $2\times (10\times 1)$ wordt in de wiskunde ook wel het dubbelproduct genoemd: twee keer het product van de termen 10 en 1. Uiteraard kun je vergelijking 5 ook uitrekenen:

$100+20+1=121$

verg. 6

43²

"43" schrijf je als "40 + 3":

$(40+3){\phantom{A}}^2$

verg. 7

Vergelijking 1 kun je ook schrijven als:

$(40+3)\times (40+3)$

verg. 8

Als je de eerste factor als aparte termen schrijft moet je beide termen met de tweede factor vermenigvuldigen:

$40\times (40+3)+1\times (40+3)$

verg. 9

Werk je nu ook de haakjes weg die er nog over zijn, dan vind je:

$40\times 40+40\times 3+3\times 40+3\times 3$

verg. 10

of in een kortere wiskundige formulering:

$40{\phantom{A}}^2+2\times (40\times 3)+3{\phantom{A}}^2$

verg. 11

De middelste term hier $2\times (10\times 1)$ wordt in de wiskunde ook wel het dubbelproduct genoemd: twee keer het product van de termen 10 en 1. Uiteraard kun je vergelijking 5 ook uitrekenen:

$1600+240+9=1849$

verg. 12

(a + b)²

In de wiskunde wordt altijd gezocht naar een algemene manier van beschrijven. Echte getallen zijn dan lastig. Als je voor het eerste getal tussen haakjes "a" schrijft en voor het tweede "b" dan gaan vergelijkingen 1 en 7 over in:

$(\mathrm{a}+\mathrm{b}){\phantom{A}}^2$

verg. 13

Vergelijking 1 kun je ook schrijven als:

$(\mathrm{a}+\mathrm{b})\times (\mathrm{a}+\mathrm{b})$

verg. 14

Als je de eerste factor als aparte termen schrijft moet je beide termen met de tweede factor vermenigvuldigen:

$\mathrm{a}\times (\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{b}\times (\mathrm{a}+\mathrm{b})$

verg. 15

Werk je nu ook de haakjes weg die er nog over zijn, dan vind je:

$\mathrm{a}\times \mathrm{a}+\mathrm{a}\times \mathrm{b}+\mathrm{b}\times \mathrm{a}+\mathrm{b}\times \mathrm{b}$

verg. 16

Bij vermenigvuldigen maakt het niet uit in welke volgorde je verschillende factoren staan, dus vergelijking 16 kan ook genoteerd worden als::

$\mathrm{a}\times \mathrm{a}+\mathrm{a}\times \mathrm{b}+\mathrm{a}\times \mathrm{b}+\mathrm{b}\times \mathrm{b}$

verg. 17

of in een kortere wiskundige formulering:

$\mathrm{a}{\phantom{A}}^2+2\times (\mathrm{a}\times \mathrm{b})+\mathrm{b}{\phantom{A}}^2$

verg. 18

De middelste term $2\times (\mathrm{a}\times \mathrm{b})$ is nu nog beter herkenbaar als het dubbele van het product van de twee termen "a" en "b". Echt uitrekenen is nu niet aan de orde, maar met behulp van onderstaande regel kun je wel makkelijk (zonder rekenmachine) een aantal kwadraten uitrekenen.

$(\mathrm{a}+\mathrm{b}){\phantom{A}}^2=\mathrm{a}{\phantom{A}}^2+2\times \mathrm{a}\cdot \mathrm{b}+\mathrm{b}{\phantom{A}}^2$

verg. 19

(a - b)²

Ook als er in plaats van een plusteken tussen de termen een minteken aanwezig is werkt de formule, maar moet wel extra opgelet worden:

$(\mathrm{a}-\mathrm{b}){\phantom{A}}^2$

verg. 20

$(\mathrm{a}-\mathrm{b})\times (\mathrm{a}-\mathrm{b})$

verg. 21

$\mathrm{a}\times (\mathrm{a}-\mathrm{b})-\mathrm{b}\times (\mathrm{a}-\mathrm{b})$

verg. 22

$\mathrm{a}\times \mathrm{a}-\mathrm{a}\times \mathrm{b}-\mathrm{b}\times \mathrm{a}+(-\mathrm{b})\times (-\mathrm{b})$

verg. 23

$\mathrm{a}\times \mathrm{a}-\mathrm{a}\times \mathrm{b}-\mathrm{a}\times \mathrm{b}+(-\mathrm{b})\times (-\mathrm{b})$

verg. 24

Bij het vermenigvuldigen van de laatste term geldt uiteraard: min maal min is plus

$\mathrm{a}{\phantom{A}}^2-2\times (\mathrm{a}\times \mathrm{b})+\mathrm{b}{\phantom{A}}^2$

verg. 25

Voor bijvoorbeeld 9² vindt je nu (met a = 10 en b = 1):

$9{\phantom{A}}^2=(10-1){\phantom{A}}^2=10{\phantom{A}}^2-2\times 10\times 1+1{\phantom{A}}^2=100-20+1=81$