Analyse/Inleiding in Integratie

Nota bene: aan dit artikel wordt nog hard gewerkt.

Riemann-sommen

$f(x)=x^2$ op het interval $[0,3]$ onderverdeeld in 5 rechthoeken.

Om de oppervlakte onder de grafiek van een continue functie f(x) op het interval [a,b] te benaderen, verdelen we het interval in n stukjes met breedte $\mathrm{\Delta }x$ en bepalen de oppervlakte van de rechthoeken boven deze stukjes, waarvan de "middens juist op de grafiek vallen". De hoogte van de k-de rechthoek wordt dan gegeven door $f(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x+(k-1)\mathrm{\Delta }x)$, zodat de oppervlakte van deze rechthoek gelijk is aan:

$O_k=f(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x+(k-1)\mathrm{\Delta }x)\cdot \mathrm{\Delta }x.$

De oppervlakte O onder de grafiek wordt dan benaderd door:

$O\approx \sum _{k=1}^n{O}_k=\sum _{k=1}^{n}f(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x+(k-1)\mathrm{\Delta }x)\cdot \mathrm{\Delta }x$

Het spreekt voor zich dat een grotere n, en dus een kleinere $\mathrm{\Delta }x$ een nauwkeurigere benadering oplevert.

Voorbeeld

We willen de oppervlakte tussen de grafiek van $f(x)=x^2$ en de x-as benaderen op het interval (0,3). We kiezen $n=30$, dus $\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{10}$. De hoogte van de k-de rechthoek is dan

$f(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x+(k-1)\mathrm{\Delta }x)=f(\frac{1}{2}\frac{1}{10}+(k-1)\frac{1}{10})=(\frac{1}{20}+(k-1)\frac{1}{10}{)}^2.$

De benadering voor de oppervlakte wordt dan:

$O\approx \sum _{k=1}^{30}f(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }x+(k-1)\mathrm{\Delta }x)\mathrm{\Delta }x=\sum _{k=1}^{30}(\frac{1}{20}+(k-1)\frac{1}{10}{)}^2\frac{1}{10}=8,9975.$

Vergelijk dit met de werkelijke waarde 9.

Wanneer we de figuur in 300 rechthoekjes, dus met $\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{100}$, krijgen we een betere benadering, namelijk $O\approx 8,999975.$

Integralen

In het voorbeeld hebben we gezien dat we een betere benadering verkrijgen naarmate we $\mathrm{\Delta }x$ dichter bij 0 kiezen. Nemen we de limiet voor $\mathrm{\Delta }x$ naar 0, dan spreken we over een integraal:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k)\cdot \mathrm{\Delta }x$

Deze integraal spreken we uit als: 'De integraal van a naar b over f(x) dx'.

Hoofdstelling van de Integraalrekening

De hoofdstelling van de integraalrekening geeft een verband tussen de primitieven van een functie en de integraal:

Zij $f:[a,b]\mapsto ℝ$ continu en $F^{\prime }=f$, dan geldt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$

Dit verband wordt ook wel geschreven als:

$f(b)=f(a)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)\text{d}x$