Analyse/Functies

Nota Bene! Aan dit hoofdstuk wordt nu actief gewerkt. Wat U hier nu vindt is dan ook niet af, onbetrouwbaar, incompleet, etc. Robert Zboray 25 jan 2006 02:24 (UTC)

Inleiding

Domein en bereik

Notatie

De volgende tabel geeft de verschillende notaties van intervallen van reële getallen:

Betekenis	Interval notatie	Set notatie
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$ en kleiner dan of gelijk aan $b$	$[a,b]$	$\{x:a\le x\le b\}$
alle getallen groter dan $a$ en kleiner dan $b$	$(a,b)$	$\{x:a<x<b\}$
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$ en kleiner dan $b$	$[a,b)$	$\{x:a\le x<b\}$
alle getallen groter dan $a$ en kleiner dan of gelijk aan $b$	$(a,b]$	$\{x:a<x\le b\}$
alle getallen groter dan of gelijk aan $a$	$[a,\mathrm{\infty })$	$\{x:x\ge a\}$
alle getallen groter dan $a$	$(a,\mathrm{\infty })$	$\{x:x>a\}$
alle getallen kleiner dan of gelijk aan $a$	$(-\mathrm{\infty },a]$	$\{x:x\le a\}$
alle getallen kleiner dan $a$	$(-\mathrm{\infty },a)$	$\{x:x<a\}$
alle getallen	$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$	$\{x:x\in ℝ\}$

Er zijn alternatieve notaties in gebruik. Zo wordt i.p.v. een ronde haak ( of ) ook wel < resp. > geschreven of de omgekeerde rechte haken, dus: <a,b> of ]a,b[ voor (a,b) en [a,b> of [a,b[ voor {a,b). Bij dit gebruik wordt ook vaak een pijltje geschreven i.p.v. ∞, dus: [a,→> voor [a,∞) en <←,a> voor (-∞,a).

Een verzameling getallen kan worden weergegeven door middel van accolades. Zo wordt de verzameling die bestaat uit de getallen 1, 2 en 3, weergegeven als {1,2,3}.

Enkele getalverzamelingen spelen een belangrijke rol en hebben een eigen naam:

• $\mathbb{N}$: De verzameling van de natuurlijke getallen, ofwel alle gehele getallen groter dan of gelijk aan 0.
• $\mathbb{Z}$: De verzameling van de gehele getallen.
• $\mathbb{Q}$: De verzameling van de rationele getallen, ofwel alle getallen die kunnen worden geschreven als een breuk van twee gehele getallen.
• $ℝ$: De verzameling van de reële getallen. Deze verzameling bevat alle rationele getallen en alle irrationele getallen, zoals $\sqrt{2}$.

In het volgende maken we gebruik van het exclusie-teken, \ (backslash). De uitdrukking $ℝ\setminus \{0,1\}$ betekent: de verzameling van alle elementen van $ℝ$ behalve 0 en 1.

Domein

Het domein van een functie $f$ is de verzameling van alle originelen (invoerwaarden) $x$ waarvoor een beeld $f(x)$ is gedefiniëerd.

Het domein van de functie $f:ℝ\setminus \{0\}\mapsto ℝ$ met het functievoorschrift $f(x)=1/x$ bestaat uit alle reële getallen, behalve 0.

Bereik

Het bereik van een functie $f$ is de verzameling van alle mogelijke beelden die $f$ kan aannemen op het gegeven domein.

De formele definitie van het bereik van een functie $f:A\mapsto B$ is:

$\mathrm{range}(f)=\mathrm{lm}(f)=f[A]=\{f(x)|x\in A\}$

Voorbeelden

$\underset{x\to p}{\lim }c=c$

$\underset{x\to p}{\lim }x=p$

$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}=0$

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-a}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}x=1$

Bronnen

Calculus Tom M. Apostol Sjabloon:ISBN Sjabloon:Sub Sjabloon:GFDL-oud