Transmissielijnen/Voortplantingscoëfficiënt

De voortplantingsoëfficiënt is:

$\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(r+j\omega c)(g+j\omega l)}$.

We drukken α en β uit in de andere parameters:

${\gamma }^2={\alpha }^2-{\beta }^2+2j\alpha \beta =(r+j\omega c)(g+j\omega l)=(rg-{\omega }^{2}lc)+j\omega (rc+lg)$.

Dus

${\alpha }^2-{\beta }^2=rg-{\omega }^{2}lc=-p$ (voor de meeste gevallen p > 0)

en

$2\alpha \beta =\omega (rc+lg)=q$ (q > 0)

De parameters $\alpha$ en $\beta$ kunnen dus uitgedrukt worden in $p$ en $q$, en wel:

$\alpha \sqrt{2}=\sqrt{\sqrt{p^2+q^2}-p}$

en

$\beta \sqrt{2}=\sqrt{(\sqrt{p^2+q^2}+p)}$.

Voor lijnen met weinig of geen verlies geldt voor hoge frequenties: $p<<q$. Voor dat geval geldt de benadering:

$\alpha \sqrt{2}=\sqrt{p\sqrt{1+q^2/p^2}-p}\approx \sqrt{p(1+q^2/2p^2)-p}=\frac{q}{\sqrt{2p}}$

Dan is dus:

$\alpha \approx \frac{q}{2\sqrt{p}}\approx \omega \frac{rc+lg}{2\sqrt{{\omega }^{2}lc}}=\frac{1}{2}(r\sqrt{\frac{c}{l}}+g\sqrt{\frac{l}{c}})$

en

$\beta \approx \sqrt{p+q^2/4p}\approx \omega \sqrt{lc}-\frac{rg}{4\omega \sqrt{lc}}$.

dus voor hoge frequenties, $\omega \to \mathrm{\infty }$, vinden we nog als benadering:

$\beta \approx \omega \sqrt{lc}$.

Voor lage frequenties, dus relatief kleine $\omega$, vinden we als benadering: