Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Verwachting van functies van stochastische variabelen

6.3 Verwachting van functies van stochastische variabelen

Vaak moeten we de verwachting bepalen van een functie van een of meer s.v.-en. We kijken eerst eens naar een voorbeeld.

Voorbeeld 1
We werpen zolang een zuivere munt tot we "munt" gooien. De s.v. N stelt het benodigde aantal worpen voor. N is geometrisch verdeeld met parameter 1/2. Als we n worpen nodig hadden, krijgen we een bedrag 2^-n uitbetaald. Noem de uitbetaling X; de uitbetaling is een functie van N, nl. X = 2^-N. Voor de verwachte uitbetaling vinden we:

$EX=\sum _{x\in S_X}xP(X=x)=\frac{1}{2}P(X=\frac{1}{2})+\frac{1}{4}P(X=\frac{1}{4})+\frac{1}{8}P(X=\frac{1}{8})+...$.

Nu is

$P(X=2^{-n})=P(N=n)=(\frac{1}{2}{)}^n$,

dus

$EX=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^n(\frac{1}{2}{)}^n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{4}{)}^n=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$.

We zien dat we op vanzelfsprekende wijze kunnen schrijven:

$EX=E{2}^{-N}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^{n}P(N=n)$,

waarin EX is uitgedrukt in de verdeling van N. We hoeven dan niet eerst na te gaan wat de verdeling van X is.

Wat we in het voorbeeld hebben gezien, geldt heel algemeen, en wordt verwoord in de volgende stelling.

Stelling 6.3.1
Laat X₁,...,X_n s.v.-en zijn en $g:{ℝ}^n\to ℝ$, dan is

$Eg(X_1,...,X_n)=\sum _{x_1,...,x_n}g(x_1,...,x_n)P(X_1=x_1,...,X_n=x_n)$,

waarbij dus gesommeerd wordt over alle mogelijke waarden (x₁,...,x_n) van (X₁,...,X_n).

Bewijs: Noem X = (X₁,...,X_n) en x = (x₁,...,x_n). Dan geldt voor de s.v. g(X):

$Eg(X)=\sum _{s\in S}g(X(s))p(s)=\sum _{x}g(x)P(X=x)$

We hoeven dus als we de verwachting van een functie Y = g(X) van X willen bepalen, niet eerst de verdeling van Y te berekenen, maar kunnen met bovenstaande stelling Eg(X) direct via de verdeling van X bepalen.

Voorbeeld 2 (twee worpen met een dobbelsteen; vervolg)
We kunnen Z en M opvatten als functies van de ogenaantallen X en Y van resp. de eerste en tweede worp: Z = X + Y en M = \max(X,Y). We berekenen:

$EZ=E(X+Y)=\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6(x+y)P(X=xenY=y)=\frac{1}{36}\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6(x+y)=7$

en

$EM=E\max (X,Y)=\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6\max (x,y)P(X=xenY=y)=\frac{1}{36}\sum _{x=1}^6\sum _{y=1}^6\max (x,y)=$

$=\frac{1}{36}\sum _{m=1}^{6}m(2m-1)=\frac{161}{36}$,

waarbij we bij de laatste sommatie bedenken dat er (2m-1) punten (x,y) zijn waarvoor \max(x,y) = m.

Merk op dat E(X + Y) = EX + EY; in een volgende paragraaf zullen we zien dat deze relatie algemeen geldt.

We vergelijken het resultaat met een berekening van EZ en EM via de verdelingen van Z en M:

$EZ=\sum _{z=2}^{12}z.P(Z=z)=2\times \frac{1}{36}+2\times \frac{3}{36}+4\times \frac{3}{36}+\dots +12\times \frac{1}{36}=7$

en

$EM=\sum _{m=1}^{6}m.P(M=m)=1\times \frac{1}{36}+2\times \frac{3}{36}+...+6\times \frac{11}{36}=\frac{161}{36}$.