Transmissielijnen/Spanning en stroom

De spanning u en de "stroom" v hebben de vorm:

$u(x)=u_0^{+}{e}^{-\gamma x}+u_0^{-}{e}^{+\gamma x}$

en

$v(x)=u_0^{+}{e}^{-\gamma x}-u_0^{-}{e}^{+\gamma x}$.

met

$u_0^{+}=\frac{1}{2}(u_0+v_0)$

en

$u_0^{-}=\frac{1}{2}(u_0-v_0)$.

We onderscheiden daarin de heengaande golf:

$u^{+}(x)=u_0^{+}{e}^{-\gamma x}$

en de gereflecteerde (teruggaande) golf:

$u^{-}(x)=u_0^{-}{e}^{+\gamma x}$.

De voortplantingscoëfficiënt

$\gamma =\alpha +j\beta$,

heeft als reëel deel de dempingscoëfficiënt α en als imaginair deel de fasedraaiïngscoëfficiënt β, ook golfgetal geheten.

Voor alle duidelijkheid herhalen we nog dat u en v de amplitude en de fase beschrijven. Het verloop langs de lijn en in de tijd is dus:

$u^{+}(x,t)=\mathrm{\Re }(u_0^{+}{e}^{-\gamma x}{e}^{j\omega t})=\mathrm{\Re }(u_0^{+}{e}^{-\alpha x}{e}^{j(\omega t-\beta x)})=u_0^{+}{e}^{-\alpha x}\cos (\omega t-\beta x)$

en

$u^{-}(x,t)=\mathrm{\Re }(u_0^{-}{e}^{+\gamma x}{e}^{j\omega t})=\mathrm{\Re }(u_0^{-}{e}^{+\alpha x}{e}^{j(\omega t+\beta x)})=u_0^{-}{e}^{+\alpha x}\cos (\omega t+\beta x)$

We zien dat de heengaande golf $u^{+}$ verloopt volgens:

$e^{-\gamma x}=e^{-\alpha x-j\beta x}$,

dus uitdempend volgens

$e^{-\alpha x}$

en met faseverloop

$e^{-j\beta x}$.

Analoog zien we dat $u^{-}$ verloopt volgens:

$e^{+\gamma x}=e^{+\alpha x+j\beta x}$,

dus met toenemende x in amplitude toenemend, wat inhoudt uitdempend in tegengestelde richting, volgens:

$e^{-\alpha x}$

en met faseverloop

$e^{+j\beta x}$.

Analoog voor de stroom.