Basiskennis chemie 4/Tweedegraads x2-ax

ax² + bx

In deze paragraaf maak je kennis met de tweedegraads functie waarbij naast de onbekende in het kwadraat, de onbekende ook tot de eerste macht voorkomt. De algemene vergelijking heeft de volgende vorm:

$\mathrm{a}\cdot \mathrm{x}{\phantom{A}}^2+\mathrm{b}\cdot \mathrm{x}=0$

verg. 1

Voor een eerste kennismaking is een voorbeeld met getallen handiger:

$2\cdot \mathrm{x}{\phantom{A}}^2+7\cdot \mathrm{x}=0$

verg. 2

en opnieuw is de vraag: welke waarde voor de onbekende maakt de vergelijking waar.
In het volgende voorbeeld maak je eerst kennis met een vorm met getallen. Net als bij de vorige variatie zul je ook hier in principe twee waarden voor "x" vinden. Voor het vinden van het antwoord is het slim je te realiseren dat de algemene vergelijking in beide termen een zelfde factor heeft, de "x", die buiten haakjes gebracht kan worden:

$\mathrm{x}\cdot (2\cdot \mathrm{x}+7)=0$

verg. 3

Als een vermenigvuldiging als uitkomst "0" moet hebben betekent het dat één van de factoren nul moet zijn. Dat wil dus zeggen

$\begin{array}{cccccc}& & x& =& 0& \mathrm{o}\mathrm{f}\\ 2x& +& 7& =& 0\end{array}$

verg. 4
verg. 5

Hiermee heb je al één van de waarden die vergelijking 1 waar maken gevonden. Als x nul is, is de vergelijking waar. De tweede waarde vindt je door in de tweede vergelijking 4 de "x" te isoleren:

$2\cdot \mathrm{x}=-7$

verg. 6

en

$\mathrm{x}=\frac{-7}{2}=-3\text{,}{\phantom{A}}_5$

verg. 7

Je kunt controleren of de gevonden waarden inderdaad echt de vergelijking waar maken door die getallen in te vullen voor "x". Met $\mathrm{x}=0$ vind je:

$2\times 0+7\times 0=0+0=0$

verg. 8

en met $\mathrm{x}=3\text{,}{\phantom{A}}_5$ vind je:

$2\times (3\text{,}{\phantom{A}}_5){\phantom{A}}^2+7\times (-3\text{,}{\phantom{A}}_5)=2\times 12\text{,}{\phantom{A}}_{25}-24\text{,}{\phantom{A}}_5=24\text{,}{\phantom{A}}_5-24\text{,}{\phantom{A}}_5=0$

verg. 9

Beide waarden leveren een kloppende vergelijking op, dus voor $2\cdot \mathrm{x}{\phantom{A}}^2+7\cdot \mathrm{x}=0$ is de oplossing:

óf    x = 0

óf    x = -3,5