Rekenen/Breuken

Wat als we 2 delen door 3? Duidelijk is dat als we 2 taarten met z'n drieën moeten delen elk minder dan een hele taart krijgt. (Voor het gemak schrijven we hier kleine getallen als cijfers, niet als woorden, zoals in het Nederlands eigenlijk moet.) Het gemakkelijkst is het beide taarten in 3 delen te delen en elk daar 2 stukken van te geven. Zo'n derde deel heet een derde (uitspraak "un derduh" of "één derduh") en we noteren het als:

$\frac{1}{3}$ of als ¹/₃, of om typografische redenen als 1/3, ook als 1:3.

Daarvan krijgt elk er 2, dus elk krijgt:

$\frac{2}{3}$ (twee derde), ook geschreven als ²/₃ (2/3) en 2:3.

We noemen zulke getallen breuken. We schrijven het als een streep, de breuk- of deelstreep, met een getal erboven en een getal eronder. Ook wordt de breuk wel op een lijn geschreven, met een schuine breukstreep. Het getal boven de breukstreep heet teller, dat onder de breukstreep noemer. De teller telt hoe vaak een deel dat door de noemer bepaald wordt, voorkomt. We kunnen ook de dubbele punt (:) als deelteken gebruiken. Om historische reden zijn er dus (nog afgezien van de staartdeling) drie manieren om een breuk of deling weer te geven: een horizontale streep, een schuine streep en een dubbele punt. Zo is:

$\frac{7}{13}$ (zeven dertiende ) of ⁷/₁₃ (7/13) of 7:13,

de breuk waarin 7 keer een dertiende deel voorkomt. Deel 7 taarten met z'n dertienen. Dat doen we het eenvoudigst door elke taart in 13 stukken te verdelen en ieder 7 van die stukken te geven.

Soms is de uitkomst een geheel getal:

$\frac{48}{4}=48:4=12$

Kennelijk is de breuk 48/4 hetzelfde als het getal 12. Dat is ook begrijpelijk, want 48 stukken van een vierde is evenveel als 12 hele.

We kunnen ook hele getallen met breuken combineren:

$\frac{49}{4}=49:4=12+\frac{1}{4}=12\frac{1}{4}$ (twaalf een vierde).

Namen

Hoe noemen we al die breuken? Van een paar hebben we al gezien hoe ze heten. Hier volgen er nog een paar:

$\frac{1}{2}$ een half

$\frac{1}{4}$ een vierde

$\frac{3}{8}$ drie achtste

$\frac{7}{21}$ zeven eenentwintigste

$\frac{3}{100}$ drie honderdste

$\frac{3}{101}$ drie honderdeende

$1\frac{1}{2}$ anderhalf

$3\frac{1}{2}$ drie (en) een half

$8\frac{2}{3}$ acht twee derde

Vereenvoudiging

Niet alleen zijn sommige breuken hetzelfde als een geheel getal, maar ook zijn veel breuken aan elkaar gelijk. Zo is:

$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{24}{36}=\frac{448}{672}$

We kunnen het getal dat door de breuk 2/3 bepaald is, op oneindig veel verschillende manieren opschrijven. Al die vormen van 2/3 ontstaan door zowel de teller als de noemer met hetzelfde getal te vermenigvuldigen. Dan vermenigvuldigen we het hele getal namelijk met 1 (bijvoorbeeld 2/2 = 1, 12/12 = 1 of 224/224 = 1, enzovoorts), en dat verandert het getal niet, dus

$\frac{2}{3}=\frac{2\times 2}{2\times 3}=\frac{4}{6}$

$\frac{2}{3}=\frac{12\times 2}{12\times 3}=\frac{24}{36}$

$\frac{2}{3}=\frac{224\times 2}{224\times 3}=\frac{448}{672}$

Onnodig grote getallen zijn onoverzichtelijk, daarom zoeken we altijd naar de eenvoudigste vorm door de grootste gemeenschappelijke factor van teller en noemer er uit te delen. Die factor heet ggd (= grootste gemene deler) van teller en noemer. Het uitdelen van die factor heet vereenvoudigen van de breuk. Na vereenvoudiging ontstaat de eenvoudigste vorm van de breuk.

$\frac{34}{119}=\frac{17\times 2}{17\times 7}=$ (wegdelen van grootste gemene deler 17) $\frac{2}{7}$

$\frac{3072}{1280}=\frac{256\times 12}{256\times 5}=$ (wegdelen van ggd 256) $\frac{12}{5}$

$\frac{342}{456}=\frac{114\times 3}{114\times 4}=$ (wegdelen van ggd 114) $\frac{3}{4}$

Alle breuken samen vormen getallen waar we alle bewerkingen als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door 0) mee kunnen uitvoeren. We noemen breuken ook rationale getallen, naar het Latijnse woord "ratio" (verhouding).

Optellen van breuken

Hoe tellen we breuken bij elkaar op? Soms ligt het voor de hand:

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}$,

want 2 stukken van 1/7 en nog eens 3 stukken van 1/7 betekent natuurlijk samen 5 stukken van 1/7 is 5/7.
Zo is:

$\frac{8}{39}+\frac{5}{39}=\frac{8+5}{39}=\frac{13}{39}=\frac{1\times 13}{3\times 13}=$ (wegdelen van 13) $\frac{1}{3}$.

Maar wat als de noemers niet gelijk zijn?

$\frac{2}{7}+\frac{3}{8}=?$

Dan moeten we ervoor zorgen dat de noemers wel gelijk aan elkaar zijn.
We zeggen dat we de breuken gelijknamig maken, of op één noemer brengen.
Daartoe vermenigvuldigen we de teller en de noemer met het zelfde getal, dus x 1, waardoor de breuk als getal niet verandert.
We nemen voor dat getal de noemer van de andere breuk, hier 7 en 8. Dat mag, want 8/8 = 1 en 7/7 = 1.

$\frac{2}{7}+\frac{3}{8}=1\times \frac{2}{7}+1\times \frac{3}{8}=\frac{8}{8}\times \frac{2}{7}+\frac{7}{7}\times \frac{3}{8}$, dus

$\frac{8\times 2}{8\times 7}+\frac{7\times 3}{7\times 8}=\frac{16}{56}+\frac{21}{56}=\frac{16+21}{56}=\frac{37}{56}$

Soms kan met kleinere getallen volstaan worden.
In het volgende voorbeeld is 21 = 3 x 7 en 14 = 2 x 7.

We mogen met 2/2 = 1 en 3/3 = 1 vermenigvuldigen:

$\frac{4}{21}+\frac{3}{14}=\frac{2\times 4}{2\times 21}+\frac{3\times 3}{3\times 14}=\frac{8}{42}+\frac{9}{42}=\frac{8+9}{42}=\frac{17}{42}$

De eenvoudigste gemeenschappelijke noemer heet kgv (= kleinste gemene veelvoud) van de beide noemers.

Natuurlijk hadden we ook kunnen nemen:

$\frac{4}{21}+\frac{3}{14}=\frac{14\times 4}{14\times 21}+\frac{21\times 3}{21\times 14}=\frac{56}{294}+\frac{63}{294}=\frac{119}{294}=\frac{17}{42}$

Aftrekken van breuken

Ook voor het aftrekken van breuken is het het gemakkelijkst als ze dezelfde noemer hebben.

$\frac{3}{7}-\frac{2}{7}=\frac{3-2}{7}=\frac{1}{7}$

$\frac{8}{39}-\frac{5}{39}=\frac{8-5}{39}=\frac{3}{39}=\frac{1}{13}$

$\frac{3}{8}-\frac{2}{7}=\frac{7\times 3}{7\times 8}-\frac{8\times 2}{8\times 7}=\frac{21}{56}-\frac{16}{56}=\frac{21-16}{56}=\frac{5}{56}$

We kunnen ook negatieve uitkomsten krijgen:

$\frac{5}{39}-\frac{8}{39}=\frac{5-8}{39}=\frac{-3}{39}=-\frac{1}{13}$

Vermenigvuldigen van breuken

Om twee breuken met elkaar te vermenigvuldigen, moeten zowel de tellers als de noemers met elkaar vermenigvuldigd worden.

$\frac{3}{7}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{7\times 5}=\frac{6}{35}$

Voor deze berekening moeten we immers 3 keer een 7e deel van 2/5 nemen. Een 7e deel van 2/5 is:

$\frac{1}{7}\times \frac{2}{5}=\frac{2}{35}$

We hebben de noemers met elkaar vermenigvuldigd. Nu nog 3 keer dit resultaat; we vermenigvuldigen de tellers met elkaar:

$\frac{3}{7}\times \frac{2}{5}=3\times \frac{2}{35}=\frac{6}{35}$

Delen door breuken

Als we een getal met 1/2 vermenigvuldigen, is dat hetzelfde als delen door 2.
We zeggen wel dat we iets "door de helft" delen, maar we bedoelen eigenlijk iets in twee helften delen, in tweeën delen.
Vermenigvuldigen met 1/5, betekent in vijven delen, dus delen door 5.
Daaruit leren we de eenvoudige regel: delen door een getal is vermenigvuldigen met het omgekeerde van dat getal.

Dat kunnen we ook met het volgende voorbeeld begrijpen.
Delen door 1/2 betekent vragen "Hoe vaak past 1/2 in je getal?". Dat is 2x het getal.
Met andere breuken werkt het net zo.

Delen door 2/3 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 3/2.

$5:2=5\times \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

$5:\frac{1}{2}=5\times 2=10$

$\frac{3}{7}:\frac{5}{8}=\frac{3}{7}\times \frac{8}{5}=\frac{24}{35}$

$\frac{3}{7}:2=\frac{3}{7}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{14}$