Basiskennis chemie/Systematische Probleem Aanpak/Significante cijfers

Significante cijfers

Rekenen

Als je de breuk (41 * 43) / 47 uitrekent, vind je een antwoord dat begint met 37,510638. Welke cijfers daar nog achteraan komen vertelt de rekenmachine niet, en is bovendien afhankelijk van de instellingen van de machine.

Zou je deze breuk handmatig uitrekenen – met potlood en papier – dan vind je nog veel meer cijfers voor achter de komma. Als je alleen aan het rekenen bent om het rekenen, dan kan zo'n lange sliert cijfers indrukwekkend zijn.

In het laboratorium heeft de uitkomst van je berekening niet alleen een rekenkundige betekenis. Het antwoord heeft ook een echte betekenis met gevolgen!

Rekenen

Bereken je de prijs van 1000 gram gezuiverd keukenzout als € 37,510638 dan zijn eigenlijk de laatste vier cijfers achter de komma niet interessant. Het bedrag wordt altijd afgerond op hele centen!

Afronden

In het laboratorium is iets vergelijkbaars aan de hand. Als voorbeeld gebruiken we de volgende gegevens voor de concentratiebepaling van een oplossing van natriumhydroxyde:

• massa Kaliumwaterstofftalaat (KHFt): = 304 mg, afgewogen op een digitale weegschaal.
• verbruik natronloog: = 15.71 mL, uit een buret met digitale aflezing.
• formule: $c_{NaOH}=\frac{m_{KHFt}}{v_{NaOH}*M_{KHFt}}$
  met
  • $c_{NaOH}$: de concentratie NaOH in mol.L^{- 1}.
  • $m_{KHFt}$: de ingewogen massa KHFt in mg
  • $v_{NaOH}$: het verbruik natronloog in mL
  • $M_{KHFt}$: de molaire massa van kaliumwaterstofftalaat.

Gegevens en formule

Rekenen in het Laboratorium

Invullen van de gegevens in de formule levert nu:

$c_{NaOH}=\frac{m_{KHFt}}{v_{NaOH}*M_{KHFt}}=\frac{304}{15.71*204.2212}=0,094753787\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

rekenen

Ondanks de grote nauwkeurigheid van de elektronische balans, zit er toch wat onzekerheid in de gegeven waarde 304 mg. De balans heeft een massa gemeten die afgerond op 304 mg uitkomt. De waarde kan echter liggen tussen 303.50000 mg en 304.4999 mg. Een kniesoor die daarover valt!

Het zelfde geldt voor het gemeten volume: de waarde 15.71 mL is een afronding van de waarden tussen 15.705000 en 15.714999 mL. Dezelfde kniesoor die ook hierover valt!

In onderstaande lijst is een aantal situaties met elkaar vergeleken. In vergelijking 1 vind je de concentratie als je de meetwaarden invult. In de berekeningen 2 tot en met 5 staat na de uitkomst ook vermeld wat het verschil is met de waarde zoals die uit de meetwaarden volgt.

Eerst de waarde die je vindt als je de meetwaarden invult zoals ze opgegeven zijn.

$c_{NaOH}=\frac{304}{15.71*204.2212}=0,094753787\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$

1

Meetwaarden

Dan de waarde die je vindt als je de kleinste massa en het kleinste volume gebruikt:

$c_{NaOH}=\frac{303,5000}{15,705000*204.2212}=0,094628059\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }=-0,000125728$

2

Laagste massa
Laagste volume

De waarde die je vindt met het kleinste volume en de grootste massa die toch nog afronden op de meetwaarden:

$c_{NaOH}=\frac{303,5000}{15,714999*204.2212}=0,09456785\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }=-0,000185937$

3

Laagste massa
Hoogste volume

$c_{NaOH}=\frac{304,4999}{15,705000*204.2212}=0,094939817\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }=0,0001860$

4

Hoogste massa
Laagste volume

$c_{NaOH}=\frac{304,4999}{15,714999*204.2212}=0,094879409\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }=0,000125623$

5

Hoogste massa
Hoogste volume

Ondanks het feit dat je gebruikmaakt van elektronische meetapparatuur, blijkt dat als je de uitkomsten met elkaar vergelijkt, in het vierde cijfer achter de komma al een onbetrouwbaarheid van 2 zit. Zonder dat je dat kunt controleren kan het antwoord 0.0018 mol.L^-1 groter of kleiner zijn dan je vindt door je meetgegevens die je afleest netjes in te vullen. Als je het antwoord voor de concentratiebepaling gaat opgeven, is het dus niet zinvol om alle cijfers die je rekenmachine produceert of kan produceren, als antwoord noteert. In dit geval is het veel zinniger het antwoord op te geven als $c_{NaOH}=0,0948\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$. Wil je het antwoord heel netjes opgeven dan wordt het $c_{NaOH}=0,0948\pm 0.0002\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{.}{\mathrm{L}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}$.

Antwoord

Het antwoord wordt dus opgegeven in het aantal cijfers dat betekenis heeft. Zulke cijfers worden significante cijfers genoemd (vergelijk het Engelse "to signify", dat vertaald wordt als "betekenen".)

Als significante cijfers gelden: alle cijfers,
behalve de nullen vóór eerste cijfer dat géén nul is.
Dat is dus bij getallen die absoluut kleiner zijn dan 1.

Voor nullen achter het getal is het minder duidelijk. 15000 (vijftienduizend) heeft drie nullen nodig om inderdaad 15000 te betekenen. Maar als hier het derde cijfer door de meetonnauwkeurigheden al twijfelachtig wordt, dan kun je ze niet zomaar weglaten. De wetenschappelijke notatie biedt dan uitkomst: 15000 met het derde cijfer al twijfelachtig wordt genoteerd als 1.50 * 10⁴.

De waarde van de natronloog-concentratie in het voorbeeld heeft 4 cijfers achter de komma, maar slechts 3 significante cijfers.

Er zijn veel regels rond het noteren van antwoorden met een bepaalde mate van onzekerheid. Deze regels gaan uit van de onzekerheid in de waarden die je gebruikt bij het rekenen. Er zijn echter ook uitzonderingen op de regels, en die maken het werken ermee moeilijk. Voorlopig zal op het practicum aangegeven worden in hoeveel cijfers je een antwoord moet opgeven.

significante cijfers