Sterkteleer/Formularium

Spanningen - vervormingen - inwendige energie

Spanningen op een willekeurig vlak

(link)

$\overrightarrow{t}=T_s.\overrightarrow{n}$

waarbij:

• $\overrightarrow{t}$  : De spanningsvector op een vlak met willekeurige oriëntatie.
• $\overrightarrow{n}$  : De eenheidsvector loodrecht op ditzelfde vlak.
• $T_s=\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_x& {\tau }_{xy}& {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& {\sigma }_y& {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& {\tau }_{zy}& {\sigma }_z\end{array}\right]$  : De spanningstensor.

Algemeen stelsel van 15 differentiaalvergelijkingen in 15 onbekenden (spanningen, vervormingen en verplaatsingen)

Evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

(link)

$\frac{\partial {\sigma }_x}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}+X=0$

$\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_y}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}+Y=0$

$\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_z}{\partial z}+Z=0$

Randvoorwaarden in randpunten bij de evenwichtsvergelijkingen in functie van spanning

$\bar{X}=n_x.{\sigma }_x+n_y.{\tau }_{yx}+n_z.{\tau }_{zx}$

$\bar{Y}=n_x.{\tau }_{xy}+n_y.{\sigma }_y+n_z.{\tau }_{zy}$

$\bar{Z}=n_x.{\tau }_{xz}+n_y.{\tau }_{yz}+n_z.{\sigma }_z$

Geometrische Betrekkingen

(link)

${\epsilon }_x=\frac{\partial u}{\partial x}$

${\epsilon }_y=\frac{\partial v}{\partial y}$

${\epsilon }_z=\frac{\partial w}{\partial z}$

${\gamma }_{xy}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}$

${\gamma }_{yz}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}$

${\gamma }_{zx}=\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}$

Wet van Hooke

(link)
Enkel voor isotrope materialen:

${\epsilon }_x=\frac{1}{E}[{\sigma }_x-\nu ({\sigma }_y+{\sigma }_z)]$

${\epsilon }_y=\frac{1}{E}[{\sigma }_y-\nu ({\sigma }_z+{\sigma }_x)]$

${\epsilon }_z=\frac{1}{E}[{\sigma }_z-\nu ({\sigma }_x+{\sigma }_y)]$

${\gamma }_{xy}=\frac{{\tau }_{xy}}{G}$

${\gamma }_{yz}=\frac{{\tau }_{yz}}{G}$

${\gamma }_{zx}=\frac{{\tau }_{zx}}{G}$

Glijdingsmodulus

(link)

$G=\frac{E}{2(1+\nu )}$

Kubische volumeverandering

(link)

$e=\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}={\epsilon }_x+{\epsilon }_y+{\epsilon }_z$

kubische volumeverandering bij alzijdige constante trek/druk

(link)

$e=\frac{3\sigma }{E}(1-2\nu )$

Vervormingsenergie per volumeëenheid (Inwendige potentiële energie)

(link)

in functie van spanningen

$U=\frac{1}{2E}({\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+{\sigma }_z^2)-\frac{\nu }{E}({\sigma }_x.{\sigma }_y+{\sigma }_y.{\sigma }_z+{\sigma }_z.{\sigma }_x)+\frac{1}{2G}({\tau }_{xy}^2+{\tau }_{yz}^2+{\tau }_{zx}^2)$

in functie van spanningen en vervormingen

$U=\frac{1}{2}({\sigma }_x.{\epsilon }_x+{\sigma }_y.{\epsilon }_y+{\sigma }_z.{\epsilon }_z+{\tau }_{xy}.{\gamma }_{xy}+{\tau }_{yz}.{\gamma }_{yz}+{\tau }_{zx}.{\gamma }_{zx})$

Axiale trek en druk

Algemene uitdrukkingen

(link)

spanning

${\sigma }_x=\frac{N}{A(x)}$

rek

${\epsilon }_x=\frac{{\sigma }_x}{E}=\frac{N}{E.A(x)}$

${\epsilon }_y={\epsilon }_z=-\nu \frac{{\sigma }_x}{E}=-\nu \frac{N}{E.A(x)}$

verlenging

• algemene formule (link):

$\delta =\underset{0}{\overset{L}{\int }}{\epsilon }_{x}dx=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{{\sigma }_x}{E}dx=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\frac{N(x)}{EA(x)}dx$

• constante normaalkracht en constante dwarsdoorsnede:

$\delta =\frac{PL}{EA}$

• toepassing: kegelvormige balk (link)

$\delta =\frac{4PL}{E\pi D_1{D}_2}$

• toepassing: met inrekening eigengewicht (link)

$\delta =\frac{PL}{EA}+\frac{\rho g{L}^2}{2E}=\frac{PL}{EA}+\frac{GL}{2EA}$

$L_{\text{max}}=\frac{A\cdot \bar{\sigma }-P}{\rho gA}$

Lichaam met gelijke sterkte op trek of druk

(link)

doorsnede

$A=A_0\cdot e^{\frac{\rho gx}{\sigma }}$

verlenging

$\delta =\frac{\sigma L}{E}$

Eenvoudige hyperstatische gevallen

• Niet homogene dwarsdoorsnede (link)

$X_i=\frac{E_i\cdot A_i}{\sum _{i=1}^n(E_i\cdot A_i)}\cdot P$

• Temperatuurspanningen (link)

$\sigma =-E\cdot \alpha \cdot \mathrm{\Delta }T$

• Temperatuurspanningen bij niet-homogene dwarsdoorsnede: (link)

$X=\frac{({\alpha }_2-{\alpha }_1)\cdot \mathrm{\Delta }T}{\frac{1}{E_1{A}_1}+\frac{1}{E_2{A}_2}}$

Dunwandige cilindrische stukken

(link)

spanning - ketelformule

$\sigma =\frac{q\cdot r}{e}$

verlenging

${\delta }_o=\frac{2\pi q{r}^2}{Ee}$

spanning bij draaiende ring

$\sigma =\rho {\omega }^2{r}^2$

Inwendige vervormingsenergie bij axiale trek of druk

(link)

• Vervormingsenergie per volume

$U=\frac{{\sigma }^2}{2E}=\frac{E{\epsilon }^2}{2}$

• Totale vervormingsenergie

$A_v=\underset{L}{\int }\left[\underset{A}{\int }{\left(\frac{N(x)}{A}\right)}^2\frac{1}{2E}dA\right]dx$

• Totale vervormingsenergie bij constante normaalkracht en dwarsdoorsnede

$A_v=\frac{N^2\cdot L}{2EA}$

• Resiliëntie

$U_{\text{max}}=\frac{R_e^2}{2E}$