Abstracte algebra/Isomorfismestelling voor groepen

Geavanceerd voorbeeld

Van een groep $(G,\star )$ is de automorfismengroep de verzameling

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)=\{f:(G,\star )\to (G,\star )|f\text{ is een isomorfisme}\}$.

Mrn kan eenvoudig controleren dat dit een groep is.

Construeer nu voor elke $g\in G$ de afbeelding $I_g:G\to G$ gedefinieerd door.

$I_g(x)=g\star x\star g^{-1}$.

Aangezien de groep $(G,\star )$ niet abels hoeft te zijn is dit in het algemeen niet de identieke afbeelding, maar ze lijkt wel sterk daarop. Het zal blijken dat $I_g\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$.

$I_g$ is een groepsmorfisme

$\begin{array}{cc}{I}_g(x\star y)& =g\star x\star y\star g^{-1}\\ & =g\star x\star g^{-1}\star g\star y\star g^{-1}\\ & =I_g(x)\star I_g(y)\end{array}$

$I_g$ is injectief
Stel dat

$I_g(x)=I_g(y)$

dus

$g\star x\star g^{-1}=g\star y\star g^{-1}$

Dan volgt

$x=y$

$I_g$ is surjectief
Laat $z\in G$, dan geldt voor $x=g^{-1}\star z\star g$:

$I_g(x)=g\star x\star g^{-1}=g\star g^{-1}\star z\star g\star g^{-1}=z$

Inderdaad is $I_g\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G)$; we noemen $I_g$ een inwendig automorfisme.

Definieer de afbeelding $I:(G,\star )\to (\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G),\circ )$ door:

$I(g)=I_g$

We vragen ons af of $I$ een groepsmorfisme is, m.a.w. is $I_{g_1\star g_2}=I_{g_1}\circ I_{g_2}$?

$\begin{array}{cc}{I}_{g_1\star g_2}(x)& =g_1\star g_2\star x\star (g_1\star g_2{)}^{-1}\\ & =g_1\star g_2\star x\star g_2^{-1}\star g_1^{-1}\\ & =I_{g_1}(g_2\star x\star g_2^{-1})\\ & =I_{g_1}\circ I_{g_2}(x)\end{array}$

Wat is de kern van $I$?

$\begin{array}{cc}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(I)& =\{g\in G|I_g={\mathrm{i}\mathrm{d}}_G\}\\ & =\{g\in G|\mathrm{\forall }x\in G:g\star x\star g^{-1}=x\}\\ & =\{g\in G|\mathrm{\forall }x\in G:x\star g=g\star x\}\\ & =Z(G)(\text{het centrum van }G)\end{array}$

Sjabloon:Sub