Abstracte algebra/Normale deelgroepen en quotiëntgroepen

Probleem

Stel dat we een groep $(G,\star )$ hebben en een deelgroep $H$, we kunnen dan de verzameling van de (linker) nevenklassen van $H$ bekijken, we noteren dit $H/G$. We geven een voorbeeld:

Neem $(G,\star )=(D_4,\circ )$, dan vinden we de volgende verschillende verzamelingen:

$\begin{array}{cc}& H_1=\{1,a^2\}\\ G/H_1& =\{H_1,a\circ H_1,b\circ H_1,ab\circ H_1\}\\ & H_2=\{1,b\}\\ G/H_2& =\{H_2,a\circ H_2,a^2\circ H_2,a^3\circ H_2\}\\ & H_3=\{1,a^2,b,a^{2}b\}\\ G/H_3& =\{H_3,a\circ H_3\}\end{array}$

Stel nu dat we op deze verzamelingen een nieuwe bewerking kunnen definiëren zodat we de verzamelingen als groepen kunnen zien. We moeten dus een bewerking $\bar{\star }:G/H\times G/H\to G/H:(g_1\star H,g_2\star H)\mapsto (g_1\star H)\bar{\star }(g_1\star H)$ vinden. Het ligt voor de hand dat we de bewerking $(g_1\star H)\bar{\star }(g_1\star H)=(g_1\star g_2)\star H$ willen gebruiken. Als we dit willen definiëren, dan moeten we zorgen dat het goed gedefinieerd is. De bewerking $\bar{\star }$ gebeurt namelijk tussen twee nevenklassen maar het uitwerken van die bewerking doe je met twee representanten van die nevenklassen, zou het niet kunnen zijn dat we een ander resultaat bekomen als we andere representanten nemen? We kijken naar een voorbeeld:

Neem het voorbeeld van hierboven met $H_2=\{1,b\}$ en doe de volgende berekeningen:

$\begin{array}{ccc}(a\circ H_2)\bar{\circ }(a^3\circ H_2)& =(a\circ a^3)\circ H_2& =H_2\\ (ab\circ H_2)\bar{\circ }(a^3\circ H_2)& =(ab\circ a^3)\circ H_2& =a^2\circ H_2\\ \end{array}$

We zien dus dat, hoewel $a\circ H_2$ en $ab\circ H_2$ gelijk zijn, hun product niet gelijk is. We kunnen dus niet zomaar definiëren wat we willen definiëren. De volgende vraag die we ons dan stellen is: Wanneer is de bewerking $\bar{\star }$ onafhankelijk van de representant?

Wat moet gelden om een goede definitie te krijgen? Stel dat $g_1\star H=g{\text{'}}_1\star H$ (dus is $g{\text{'}}_1=g_1\star h_1$) en $g_2\star H=g{\text{'}}_2\star H$ (dus is $g{\text{'}}_2=g_2\star h_2$), dan moet

$(g_1\star g_2)\star H=(g{\text{'}}_1\star g{\text{'}}_2)\star H$

We zouden met andere woorden graag hebben dat

$g{\text{'}}_1\star g{\text{'}}_2=g_1\star g_2\star h\text{ voor een }h\in H$

Als $(G,\star )$ abels is, dan geldt dit zeker want dan is

$g{\text{'}}_1\star g{\text{'}}_2=g_1\star h_1\star g_2\star h_2=g_1\star g_2\star h_1\star h_2$

en dus is $h=h_1\star h_2$.

We zien echter dat commutativiteit niet nodig is, het is voldoende als we $h_1\star g_2$ kunnen schrijven als $g_2\star h{\text{'}}_1$ voor een zekere $h{\text{'}}_1\in H$ want dan is

$g{\text{'}}_1\star g{\text{'}}_2=g_1\star h_1\star g_2\star h_2=g_1\star g_2\star h{\text{'}}_1\star h_2$

en hebben we onze $h=h{\text{'}}_1\star h_2$ gevonden.

Nog een andere manier van schrijven: het is voldoende dat $g_2\star h_1\star g_2^{-1}\in H$

Normale deelgroep

Sjabloon:Wis stelling

Voorbeelden

• Als $(G,\star )$ abels is, dan is iedere deelgroep een normaaldeler. We nemen bijvoorbeeld als groep $\mathbb{Z}$, dan is de deelgroep

$3\mathbb{Z}=\{\dots ,-6,-3,0,3,6,\dots \}$

een normaaldeler. De quotientgroep is dan

$\begin{array}{cc}\frac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}& =\{0+3\mathbb{Z},1+3\mathbb{Z},2+3\mathbb{Z}\}\\ & =\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}\end{array}$

We zien dat $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},+)\cong ({\mathbb{Z}}_3,+)$ en dus hebben we in feite niets nieuws gevonden.

• $\{1,a^2\}◃D_4$ want

$\{\begin{array}{cc}a\circ a^2& =a^2\circ a\\ b\circ a^2& =a^2\circ b\end{array}$

We hebben dan de quotientgroep

$\frac{D_4}{\{1,a^2\}}=\{\{1,a^2\},a\circ \{1,a^2\},b\circ \{1,a^2\},ab\circ \{1,a^2\}\}$

We weten dat er slechts twee groepen van orde vier bestaan: $({\mathbb{Z}}_4,+)$ en $({\mathbb{Z}}_2^2,+)$. Dan moet de gevonden groep dus een van die twee zijn. We zien inderdaad als we

$\begin{array}{c}\{1,a^2\}=\overline{(0,0)}\\ a\circ \{1,a^2\}=\overline{(0,1)}\\ b\circ \{1,a^2\}=\overline{(1,0)}\\ ab\circ \{1,a^2\}=\overline{(1,1)}\\ \end{array}$

stellen, dan zijn de groepen perfect isomorf. Dit is eenvoudig met de cayleytabel na te gaan.