Transmissielijnen/Complex rekenen

Korte samenvatting

Voor de passieve componenten weerstand (R), condensator (C) en spoel (L) gelden de volgende relaties tussen de stroom $i$ en spanning $u$:

$u=Ri$

$i=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$

$u=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$

Voor sinusvormige signalen met hoekfrequentie ω schrijven we:

$u=\hat{u}\cdot \cos (\omega t+\varphi )$

en

$i=\hat{i}\cdot \cos (\omega t+\psi )$

De spanning u wordt gegeven door twee grootheden:

de amplitude $\hat{u}$

en

de fasehoek $\phi$.

Analoog voor de stroom $i$.

Met behulp van de formule van Euler kunnen we voor de spanning $u$ ook schrijven:

$u=Re(\hat{u}{e}^{j(\omega t+\phi )})$

We noemen het deel zonder de tijdfactor een phasor:

$\underset{\_}{u}=\hat{u}{e}^{j\phi }$ (ook wel genoteerd als $|u|\mathrm{\angle }\phi$),

zodat:

$u=Re(\underset{\_}{u}{e}^{j\omega t})$.

Het enige interessante deel hierin is $\underset{\_}{u}$, deze bepaalt $u$. We rekenen verder alleen met $\underset{\_}{u}$.

De bovengenoemde relaties zijn equivalent met:

$\underset{\_}{u}=R\underset{\_}{i}$

$\underset{\_}{i}=j\omega C\underset{\_}{u}$,

$\underset{\_}{u}=j\omega L\underset{\_}{i}$

Al deze vergelijkingen hebben dezelfde vorm als de wet van Ohm, met

$\underset{\_}{u}$ de spanning,

$\underset{\_}{i}$ de stroom

en als impedantie

$R$ voor een ohmse weerstand $R$

$\frac{1}{j\omega C}$ voor een capaciteit $C$

$j\omega L$ voor een zelfinductie $L$

Het rekenen wordt hierdoor een stuk eenvoudiger!

NB. De vereenvoudigde (polaire) notatie

$z=|z|\mathrm{\angle }\phi$

voor een complex getal is erg gemakkelijk bij vermenigvuldigen en delen. Immers, als:

$z_1=a_1\mathrm{\angle }{\phi }_1$

en

$z_2=a_2\mathrm{\angle }{\phi }_2$,

dan is:

$z_1{z}_2=a_1{a}_2\mathrm{\angle }({\phi }_1+{\phi }_2)$

en

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{a_1}{a_2}\mathrm{\angle }({\phi }_1-{\phi }_2)$.

  Sjabloon:Sub