Matrixrekening/Tips voor het berekenen van determinanten

Tips voor het berekenen van determinanten

1. Nulrij of -kolom

De determinant van een n×n-matrix die een 0-rij of een 0-kolom bevat is gelijk aan 0.

Beide determinanten $\left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 0& 5\end{array}\right|$ en $\left|\begin{array}{ccc}6& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 3& 9& -5\end{array}\right|$ zijn dus 0.

De eerste matrix heeft een 0-kolom, de tweede matrix een 0-rij.

2. Gelijke rijen of kolommen

De determinant van een n×n-matrix die twee gelijke rijen of kolommen bevat is gelijk aan 0.

Beide determinanten $\left|\begin{array}{cc}1& 6\\ 1& 6\end{array}\right|$ en $\left|\begin{array}{ccc}6& 6& -8\\ 6& 6& 0\\ 6& 6& -4\end{array}\right|$zijn dus 0. De eerste matrix bevat 2 dezelfde rijen, de tweede matrix bevat 2 dezelfde kolommen.

3. Evenredige rijen en kolommen

Zoals bij punt 2 staat beschreven is de determinant D van een matrix altijd 0 als de matrix 2 gelijke rijen of kolommen bevat. Meer dan logisch is dan ook dat de determinant D ook 0 is als 2 rijen of kolommen elkaars veelvouden zijn.

Dus bij de matrix $\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 4& 8\end{array}\right|$ maar ook bij de matrix $\left|\begin{array}{ccc}6& 3& 9\\ 2& 1& 3\\ 6& 12& -4\end{array}\right|$ is de determinant D dus 0.

De eerste matrix bevat namelijk 2 kolommen die elkaars veelvouden zijn. Als men namelijk de eerste kolom *2 zou doen komen we weer uit op de 4 en 8 van de andere kolom. Dit geldt ook voor de tweede matrix waar de eerste twee rijen evenredig zijn (de tweede rij *3 of de eerste rij/3).

4. Verwisselen van rijen/kolommen

Het is ook mogelijk twee rijen of twee kolommen te verwisselen. De determinant verandert dan alleen van teken. Dus bij deze matrix:

$\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 5\\ 4& 1& 0\\ 3& 3& 3\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 0\\ 2& 4& 5\\ 3& 3& 3\end{array}\right|$