Wiskunde/Vergelijkingen en ongelijkheden/Tweedegraads

Standaardvorm

Een tweedegraads- of kwadratische functie heeft de volgende vorm:

$y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$

De grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool.

Een tweedegraads of kwadratische vergelijking is een vergelijking met de standaardvorm:

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

Soms laat men voor b de waarde 0 toe en noemt de vergelijking dan ontaard.

Nulpunten

De oplossingen van de vergelijking $a{x}^2+bx+c=0$ in de onbekende x zijn de nulpunten van de bovengenoemde tweedegraadsfunctie y. Ze worden gegeven door de abc- of wortelformule:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Er zijn drie gevallen te onderscheiden:

1. b² - 4ac > 0: De vergelijking heeft twee oplossingen.
2. b² - 4ac = 0: De vergelijking heeft één oplossing, namelijk het snijpunt van de top met de x-as.
3. b² - 4ac < 0: De vergelijking heeft geen (reële) oplossingen.

Voorbeeld

Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten met de x-as van de parabool die wordt beschreven door de formule $y=x^2+2x-3$?

$\begin{array}{cc}{x}_{1,2}& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ & =\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot -3}}{2\cdot 1}\\ & =\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}\\ & =\frac{-2\pm 4}{2}\\ & =-1\pm 2\end{array}$

De x-coördinaten van de snijpunten van de parabool met de x-as zijn dus -3 en 1.

Afleiding van de wortelformule

$\begin{array}{cc}a{x}^2+bx+c& =0\\ 4a^2{x}^2+4abx+4ac& =0\\ 4a^2{x}^2+4abx+b^2& =b^2-4ac\\ (2ax+b{)}^2& =b^2-4ac\\ 2ax+b& =\pm \sqrt{b^2-4ac}\\ 2ax& =-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\\ x& =\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{array}$

Algemene tweedegraadsvergelijking

Hierboven hebben we gezien dat een vergelijking in de vorm van $a{x}^2+bx+c=0$ eenvoudig kan worden opgelost. Dit is niet direct het geval met een vergelijking van de vorm $a{x}^2+bx+c=d{x}^2+e$. We zullen deze vergelijking eerst moeten omschrijven:

$a{x}^2+bx+c=d{x}^2+e\Leftarrow \Rightarrow (a-d)x^2+bx+(c-e)=0$

De aldus verkregen vergelijking kan eenvoudig worden opgelost met behulp van de abc-formule.

Top Bepalen

De x-coördinaat van de top wordt gegeven door $x_{top}=-\frac{b}{2a}$. De y-coördinaat van de top kan worden verkregen door $x_{top}$ in te vullen in de formule.

Voorbeeld

Wat zijn de coördinaten van de top van de parabool die wordt beschreven door de formule $y=3x^2+4x-2$?

$\begin{array}{cc}{x}_{top}& =-\frac{4}{2\cdot 3}=-\frac{2}{3}\\ y_{top}& =3\cdot (-\frac{2}{3}{)}^2+4\cdot -\frac{2}{3}-2=-\frac{10}{3}\end{array}$

De coördinaten van de top van de grafiek zijn $(-\frac{2}{3},-\frac{10}{3})$.

Afleiding van deze Formule

$y=a{x}^2+bx+c$ geeft $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2ax+b$. Gelijkstellen van de afgeleide aan 0 (om de top te bepalen) geeft:

$\begin{array}{cc}2ax+b& =0\\ 2ax& =-b\\ x& =\frac{-b}{2a}\end{array}$

  Sjabloon:Sub