Analyse/Differentiatie toepassingen

Nota bene: Aan dit artikel wordt momenteel nog hard gewerkt.

Extreme Waarden

De functie x³-3x²+2 (blauw) en haar eerste afgeleide (rood).

In de afbeelding hiernaast is weergegeven:

• De functie $f(x)=x^3-3x^2+2$ (blauw).
• Haar eerste afgeleide: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ (rood).

In de blauwe grafiek zijn twee extreme waarden (ook: toppen) te zien: een maximum aan de linkerkant en een minimum aan de rechterkant. De x-waarden van deze extremen zijn te bepalen met behulp van de eerste afgeleide, door deze afgeleide gelijk te stellen aan 0:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =0\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><mspace width="1em"></mspace>dus</mrow>}\\ 3x^2-6x& =0\end{array}$

Deze vergelijking is met behulp van de wortelformule op te lossen voor x:

$\begin{array}{cc}3x^2-6x& =0\\ x& =\frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 3\cdot 0}}{2\cdot 3}=\frac{6\pm 6}{6}\\ x& =\frac{0}{6}=0\vee x=\frac{12}{6}=2\end{array}$

De x-coördinaten van de toppen van de grafiek zijn dus 0 en 2. Door deze waarden in te vullen in f is het mogelijk de exacte coördinaten van de toppen van de grafiek te bepalen. Deze zijn: (0,2) en (2,-2).

Een Raakpunt Bepalen

De grafieken van de formules $f(x)$ en $g(x)$ raken elkaar in een punt als geldt:

$f(x)=g(x)\wedge f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$

Toepassing van het Raakpunt (I)

Gegeven is de functie $f(x)=x-\ln (x)$. Bepaal alle $a$, waarvoor geldt dat $f(x)=ax-1$ geen oplossingen heeft.

Wanneer je de grafiek van $f$ bekijkt, blijkt dat er een waarde van a bestaat, zodat de vergelijking juist één oplossing heeft. Dit is het punt waarin de grafiek van $f$ juist raakt aan de lijn $ax-1$. Er valt op, dat voor kleinere $a$, dus een minder steile lijn, de vergelijking geen oplossing heeft, terwijl voor grotere a de vergelijking altijd tenminste één oplossing heeft.

We kunnen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen door gebruik te maken van bovenstaande regel:

$f(x)=ax-1\wedge f^{\prime }(x)=\frac{d(ax-1)}{dx}$

Dit levert het volgende stelsel van vergelijkingen:

$\{\begin{array}{c}x-\ln (x)=ax-1\\ 1-\frac{1}{x}=a\end{array}$

Oplossen van dit stelsel levert $x=e^2$.

In dit punt geldt dat $f^{\prime }(x)=a$, dus $a=f^{\prime }(e^2)=1-\frac{1}{e^2}$.

De vergelijking $f(x)=ax-1$ heeft dus geen oplossingen voor $a\in \{r|r<1-\frac{1}{e}\}$.