Analyse/Inleiding in differentiëren

Voorbeeld I

Een auto rijdt over een rechte weg. De afstand die de auto in de tijd t aflegt wordt gegeven door de functie s(t). De gemiddelde snelheid $\bar{v}$ van de auto in het tijdsinterval (t₁,t₂) berekenen we door de in die tijd afgelegde weg s(t₂)-s(t₁) te delen door de benodigde tijd:

$\bar{v}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$

De snelheid is natuurlijk niet altijd gelijk aan de gemiddelde snelheid; de auto rijdt soms wat harder en soms wat zachter.

Wat zou de snelheid van de auto op het tijdstip t zijn. We kunnen de snelheid v(t) op dit tijdstip benaderen door de gemiddelde snelheid in een klein tijdsinterval vanaf t, zeg van t tot t+Δt:

$v(t)\approx \bar{v}=\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}$

Het spreekt voor zich dat de benadering van de snelheid nauwkeuriger wordt, naarmate Δt dichter bij nul wordt gekozen.

Voorbeeld II

Benaderingen van de helling van A.

Gegeven is de parabool y = x² (blauw weergegeven in het diagram rechts). Wat is de helling (of richtingscoëfficiënt) van de parabool in het punt A=(1,1)? We kunnen de helling in A benaderen door na te gaan wat de toename Δy van y is als x toeneemt met Δx en te berekenen:

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(1+\mathrm{\Delta }x)-f(1)}{\mathrm{\Delta }x}$

Wanneer we voor Δx 1 invullen, is de benadering voor de helling van de grafiek in A gelijk aan 3. Deze benadering is groen weergegeven in het figuur hiernaast.

Wanneer we een kleinere Δx kiezen, zal de benadering nauwkeuriger worden. De benadering die we krijgen door voor Δx 0,5 te kiezen, is gelijk aan 2,5. Deze benadering is rood weergegeven.

De eigenlijke raaklijn aan A is paars weergegeven.

Definitie

In bovenstaande voorbeelden hebben we gezien dat we door respectievelijk Δt of Δx steeds dichter bij 0 te kiezen, de richtingscoëfficiënt van een punt van de grafiek kunnen benaderen. De uiteindelijke richtingscoëfficiënt is gedefinieerd als een limiet:

$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

De afgeleide van een functie geeft de helling van die functie voor elke x (tenzij natuurlijk uit de rekenregels volgt dat deze f'(x) niet gedefinieerd is).

Notatie

We noemen f^' (f-accent) de (eerste) afgeleide van de functie f. We noteren deze afgeleide ook als $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}$.

Reflectie

Terugkomend op de bovenstaande voorbeelden is de snelheid van de auto uit voorbeeld I op t₀ gelijk aan

$v(t_0)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\mathrm{\Delta }t)-s(t_0)}{\mathrm{\Delta }t}$

De richtingscoëfficiënt in A op de grafiek uit voorbeeld II kan als volgt berekend:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{(x+\mathrm{\Delta }x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{x^2+2x\mathrm{\Delta }x+\mathrm{\Delta }{x}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }{x}^2+2x\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }x(\mathrm{\Delta }x+2x)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\mathrm{\Delta }x+2x\\ & =2x\end{array}$

Invullen van 1 in f' geeft:

$f^{\prime }(1)=2\times 1=2$

De richtingscoëfficiënt in A is dus gelijk aan 2.