Fourieranalyse/Fourierreeks

Is er een systematische manier om een periodieke functie f (voor het gemak kiezen we de periode 2π) te benaderen door een goniometrische reeks, dwz. een reeks van de vorm:

$\tilde{f}(x)=a_0+a_1\cos (x)+b_1\sin (x)+a_2\cos (2x)+b_2\sin (2x)+...=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))$.

We zullen ervan uitgaan dat de functie f integreerbaar is.

De coëfficiënten zijn bepaald door de eis dat de afstand

$\Vert f-\tilde{f}\Vert =\sqrt{\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}(f(x)-\tilde{f}(x){)}^{2}dx}$

tussen f en de reeks zo klein mogelijk is.

Deze norm is geïnduceerd door het inproduct:

$⟨f,g⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)g(x)dx$.

Ten opzichte van dit inproduct vormen de sinussen en cosinussen (de constante wordt als cos(0x) opgevat) een orthogonaal stelsel, zodat de reeks gevonden wordt door orthogonale projectie van f op de afzonderlijke sinussen en cosinussen.

Orthogonaliteit

Voor m, n = 1, 2, ... geldt:

(de constante functie is orthogonaal met sinussen en cosinussen)

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (mx)dx=0$

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (mx)dx=0$

(verschillende sinussen zijn onderling orthogonaal)

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (mx)\sin (nx)dx=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{\delta }_{mn}$

(verschillende cosinussen zijn onderling orthogonaal)

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos (mx)\cos (nx)dx=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{\delta }_{mn}$

(sinussen en cosinussen zijn onderling orthogonaal)

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin (mx)\cos (nx)dx=0$

Orthogonale projectie

Omdat de sinussen en cosinussen orthogonaal zijn, worden de coëfficiënten gegeven door:

$a_0=⟨f,1⟩=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx$

en voor n>0:

$a_n=\frac{⟨f,\cos (nx)⟩}{⟨\cos (nx),\cos (nx)⟩}=2⟨f,\cos (nx)⟩=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos (nx)dx$

en analoog:

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin (nx)dx$

Fourierreeks

De reeks met boven gedefinieerde coëfficiënten heet de fourierreeks van de functie f.