Transmissielijnen/Vervangingsimpedantie

We kunnen een transmissielijn aan het begin vervangen door de ingangsimpedantie $z_{in}$. Algemeen is $Z(x)$ de vervangingsimpedantie van het resterende deel $L-x$ van de lijn op een afstand $x$ van het begin van de lijn, d.w.z. de impedantie die door de rest van de lijn wordt vertegenwoordigd.

$Z(x)=\frac{u(x)}{i(x)}$,

of relatief:

$z(x)=\frac{Z(x)}{Z_0}=\frac{u(x)}{v(x)}$.

Uit de formule voor de ingansimpedantie kunnen we direct afleiden dat voor punten $x$ en $y$ op de lijn geldt:

$z(x)=\frac{(z(y)+1)e^{+\gamma (y-x)}+(z(y)-1)e^{-\gamma (y-x)}}{(z(y)+1)e^{+\gamma (y-x)}-(z(y)-1)e^{-\gamma (y-x)}}=\frac{z(y)+\tanh (\gamma (y-x))}{1+z(y)\tanh (\gamma (y-x))}$

Zo kunnen we door de keuze $y=0$ de vervangingsimpedantie in de ingangsimpedantie uitdrukken:

$z(x)=\frac{(z_{in}+1)e^{-\gamma x}+(z_{in}-1)e^{+\gamma x}}{(z_{in}+1)e^{-\gamma x}-(z_{in}-1)e^{+\gamma x}}=\frac{z_{in}-\tanh (\gamma x)}{1-z_{in}\tanh (\gamma x)}$

Of door de keuze $y=L$ in de belastingsimpedantie:

$z(x)=\frac{(z_L+1)e^{+\gamma (L-x)}+(z_L-1)e^{-\gamma (L-x)}}{(z_L+1)e^{+\gamma (L-x)}-(z_L-1)e^{-\gamma (L-x)}}=\frac{z_L+\tanh (\gamma (L-x))}{1+z_L\tanh (\gamma (L-x))}$